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sábado, 6 de março de 2010
segunda-feira, 1 de fevereiro de 2010
SITES BOM PARA PESQUISAS DIDÁTICAS
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11.PORCENTAGENS, JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
PORCENTAGEM
A centésima fração de uma grandeza determina a porcentagem ou o cálculo fundamentado em 100 unidades.
uros
Juros simples
Juros simples é todo juros que é determinado a partir do capital inicial, por isso dizemos que o juros simples é diretamente proporcional ao capital e ao tempo de aplicação.
A fórmula para calcular o juros simples é
Onde:
C – capital
i – taxa
t – tempo
j - juros
Juros compostos
Juros composto é todo juros que é calculado a partir do montante, que é o capital inicial somado aos juros.
A fórmula para calcular o juros composto é
Onde:
C – capital
i – taxa
t – tempo
j – juros
A centésima fração de uma grandeza determina a porcentagem ou o cálculo fundamentado em 100 unidades.
uros
Juros simples
Juros simples é todo juros que é determinado a partir do capital inicial, por isso dizemos que o juros simples é diretamente proporcional ao capital e ao tempo de aplicação.
A fórmula para calcular o juros simples é
Onde:
C – capital
i – taxa
t – tempo
j - juros
Juros compostos
Juros composto é todo juros que é calculado a partir do montante, que é o capital inicial somado aos juros.
A fórmula para calcular o juros composto é
Onde:
C – capital
i – taxa
t – tempo
j – juros
14.ANÁLISE COMBINATÓRIA
14.ANÁLISE COMBINATÓRIA
Análise Combinatória
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
... ...
p m-p+1
... ...
m-2 3
m-1 2
m 1
No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:
Número de arranjos com repetição
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:
Arep(m,p) = mp
Número de permutações com repetição
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).
O número total de possibilidades pode ser calculado como:
Tal metodologia pode ser generalizada.
Número de combinações com repetição
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
Propriedades das combinações
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.
Taxas complementares
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.
Relação do triângulo de Pascal
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605
Número Binomial
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:
Exemplo: C(8,2)=28.
Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:
A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.
Teorema Binomial
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então:
(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk
para provar a propriedade P(k+1).
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1
(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k
= (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
= a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]
= ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk
+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1
= ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
= ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
Pelas propriedades das combinações, temos:
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1= ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3
+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1
Análise Combinatória
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
... ...
p m-p+1
... ...
m-2 3
m-1 2
m 1
No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:
Número de arranjos com repetição
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:
Arep(m,p) = mp
Número de permutações com repetição
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).
O número total de possibilidades pode ser calculado como:
Tal metodologia pode ser generalizada.
Número de combinações com repetição
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
Propriedades das combinações
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.
Taxas complementares
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.
Relação do triângulo de Pascal
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605
Número Binomial
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:
Exemplo: C(8,2)=28.
Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:
A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.
Teorema Binomial
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então:
(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk
para provar a propriedade P(k+1).
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1
(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k
= (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
= a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]
= ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk
+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1
= ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
= ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
Pelas propriedades das combinações, temos:
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1= ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3
+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1
15.BINÔMIO DE NEWTON
Fatorial
1.1. Definição.
Teorema do Binômio de Newton
a) Sendo x e y dois números reais e n um número natural, temos:
b) Utilizando o símbolo de somatória, temos:
c) O termo de ordem k + 1 do desenvolvimento de (x + y)n, feito segundo os expoentes decrescente de x é:
d) O termo de ordem k + 1 do desenvolvimento de (x + y)n, feito segundo os expoentes crescente de x é:
e) Número de parcelas: o desenvolvimento de (x + y)n tem n + 1 parcelas.
f) Cálculo do coeficiente
Podemos obter os coeficientes numéricos através da definição de Números Binomiais ou pela linha do Triângulo de Pascal.
Mas existe uma forma mais simples e prática de calcular os coeficientes, que basta saber que o primeiro será sempre 1 e o restante obtemos a partir do anterior através da Relação Fermat: .
Observe:
g) Observe que (x – y)n = [(x + (– y)n] e que (– y)0 = y0, (– y)1 = – y1, (– y)2 = – y2, (– y)3= – y3... , temos:
h) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (ax + by)n, com a e b consoantes, obtém-se fazendo x = y = 1. A soma vale para (a . 1 + b . 1)n, que resulta em: (a + b)n.
1.1. Definição.
Teorema do Binômio de Newton
a) Sendo x e y dois números reais e n um número natural, temos:
b) Utilizando o símbolo de somatória, temos:
c) O termo de ordem k + 1 do desenvolvimento de (x + y)n, feito segundo os expoentes decrescente de x é:
d) O termo de ordem k + 1 do desenvolvimento de (x + y)n, feito segundo os expoentes crescente de x é:
e) Número de parcelas: o desenvolvimento de (x + y)n tem n + 1 parcelas.
f) Cálculo do coeficiente
Podemos obter os coeficientes numéricos através da definição de Números Binomiais ou pela linha do Triângulo de Pascal.
Mas existe uma forma mais simples e prática de calcular os coeficientes, que basta saber que o primeiro será sempre 1 e o restante obtemos a partir do anterior através da Relação Fermat: .
Observe:
g) Observe que (x – y)n = [(x + (– y)n] e que (– y)0 = y0, (– y)1 = – y1, (– y)2 = – y2, (– y)3= – y3... , temos:
h) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (ax + by)n, com a e b consoantes, obtém-se fazendo x = y = 1. A soma vale para (a . 1 + b . 1)n, que resulta em: (a + b)n.
16.NOÇÕES DE PROBABILIDADE
As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase todas a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratégias de apostas. Mesmo hoje ainda muitas aplicações que envolvem jogos de azar, tais como diversos tipos de loterias, os cassinos de jogos( No Brasil Bingos) e os esportes organizados. todavia, a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje muitas organizações(públicas ou privadas) já incorporaram a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações.”
O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.
Experimentos aleatórios, espaço, amostral e evento
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos.
Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido. Esse exemplo caracteriza um fenômeno determinístico.
Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno.
Por exemplo: se considerarmos a produção agrícola de uma determinada espécie, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo sejam as mesmas para todas as plantas.
Podemos considerar como experimentos aleatórios os fenômenos produzidos pelo homem.
Exemplos:
a) lançamento de uma moeda;
b) lançamento de um dado;
c) determinação da vida útil de um componente eletrônico;
d) previsão do tempo.
A cada experimento aleatório está associado o resultado do mesmo, que não é previsível, chamado evento aleatório.
Um cojunto S que consiste de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral.
Probabilidade de um evento
A probabilidade de um evento A, denotada por por P(A), é um número de 0 a 1 que indicaa chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do evento A. A um evento impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1,0.
As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e percentagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento pode ser expressa como 20%; 2 em 10; 0,20 ou 1/5.
O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.
Experimentos aleatórios, espaço, amostral e evento
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos.
Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido. Esse exemplo caracteriza um fenômeno determinístico.
Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno.
Por exemplo: se considerarmos a produção agrícola de uma determinada espécie, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo sejam as mesmas para todas as plantas.
Podemos considerar como experimentos aleatórios os fenômenos produzidos pelo homem.
Exemplos:
a) lançamento de uma moeda;
b) lançamento de um dado;
c) determinação da vida útil de um componente eletrônico;
d) previsão do tempo.
A cada experimento aleatório está associado o resultado do mesmo, que não é previsível, chamado evento aleatório.
Um cojunto S que consiste de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral.
Probabilidade de um evento
A probabilidade de um evento A, denotada por por P(A), é um número de 0 a 1 que indicaa chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do evento A. A um evento impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1,0.
As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e percentagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento pode ser expressa como 20%; 2 em 10; 0,20 ou 1/5.
17.MATRIZES E DETERMINANTES
17.MATRIZES E DETERMINANTES
Matrizes de um sistema e determinante do sistema
Matriz incompleta
Matriz incompleta (M.I), ligada à um sistema, é toda matriz cujo seus elementos são, ordenadamente, os coeficientes das incógnitas.
Exemplo:
Neste sistema linear:
Sua matriz incompleta é:
Determinante do sistema
Quando a matriz incompleta for quadrada podemos dizer que o seu determinante é o determinante do sistema (D).
Matriz completa
Matriz completa (M.C), ligada à um sistema, é toda matriz que é constituída pelos elementos da matriz incompleta e por mais uma coluna formada pelos segundos membros de cada equação do sistema.
Neste caso a matriz completa do sistema linear do exemplo acima seria:
18.GEOMETRIA PLANA E TRIGONOMETRIA: ÂNGULOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS; ÁREAS E PERÍMETROS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS; SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS, CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
Algumas definições
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.
Polígono No. de lados Polígono No. de lados
Triângulo 3 Quadrilátero 4
Pentágono 5 Hexágono 6
Heptágono 7 Octógono 8
Eneágono 9 Decágono 10
Undecágono 11 Dodecágono 12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
1. Os lados opostos são congruentes;
2. Os ângulos opostos são congruentes;
3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
4. As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.
Circunferência e Círculo
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.
Raio, corda e diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.
Observações:
1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.
2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.
Propriedades das secantes e tangentes
1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.
2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
3. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.
4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.
Tangente comum interna Tangente comum externa
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.
Circunf. tangentes externas Circunf. tangentes internas
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.
Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.
Quadrilátero circunscrito Triângulo circunscrito
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.
Arco de circunferência e ângulo central
Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP=OQ=OR=... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.
Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.
Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.
Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.
Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.
Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.
Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
1. A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).
2.
3. A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.
4. Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
5. Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).
6. Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).
Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.
Resolução de triângulos
Os elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus ângulos e a sua área, resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.
Lei dos Senos
Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
a
________________________________________sen(A) = b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:
sen(A')=sen(A)= a
________________________________________2R
isto é,
a
________________________________________sen(A) =2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
2. Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A'= -A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Então
sen( -A)=
a
________________________________________2R = sen( -A)
isto é,
a
________________________________________sen(A) =2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que
sen(B)= b
________________________________________a , sen(C)= c
________________________________________a e sen(A)=sen( /2)=1
Como, neste caso a=2R, temos,
a
________________________________________sen(A) = b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C)
Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
uma vez que cos(A)=cos( /2)=0.
Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:
a²=b² + c² - 2bc cosA
Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²+2cx (Eq.2)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:
cos(D)=x/b=cos( -A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
cos(A)= b²+c²-a²
________________________________________2bc ,cos(B)= a²+c²-b²
________________________________________2ac ,cos(C)= a²+b²-c²
________________________________________2ab
Área de um triângulo em função dos lados
Existe uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p=a+b+c, então,
S = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]
onde R[z] é a nossa notação para a raiz quadrada de z>0.
A demonstração está em nosso link Fórmula de Heron.
Matrizes de um sistema e determinante do sistema
Matriz incompleta
Matriz incompleta (M.I), ligada à um sistema, é toda matriz cujo seus elementos são, ordenadamente, os coeficientes das incógnitas.
Exemplo:
Neste sistema linear:
Sua matriz incompleta é:
Determinante do sistema
Quando a matriz incompleta for quadrada podemos dizer que o seu determinante é o determinante do sistema (D).
Matriz completa
Matriz completa (M.C), ligada à um sistema, é toda matriz que é constituída pelos elementos da matriz incompleta e por mais uma coluna formada pelos segundos membros de cada equação do sistema.
Neste caso a matriz completa do sistema linear do exemplo acima seria:
18.GEOMETRIA PLANA E TRIGONOMETRIA: ÂNGULOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS; ÁREAS E PERÍMETROS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS; SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS, CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
Algumas definições
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.
Polígono No. de lados Polígono No. de lados
Triângulo 3 Quadrilátero 4
Pentágono 5 Hexágono 6
Heptágono 7 Octógono 8
Eneágono 9 Decágono 10
Undecágono 11 Dodecágono 12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
1. Os lados opostos são congruentes;
2. Os ângulos opostos são congruentes;
3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
4. As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.
Circunferência e Círculo
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.
Raio, corda e diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.
Observações:
1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.
2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.
Propriedades das secantes e tangentes
1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.
2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
3. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.
4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.
Tangente comum interna Tangente comum externa
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.
Circunf. tangentes externas Circunf. tangentes internas
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.
Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.
Quadrilátero circunscrito Triângulo circunscrito
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.
Arco de circunferência e ângulo central
Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP=OQ=OR=... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.
Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.
Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.
Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.
Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.
Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.
Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
1. A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).
2.
3. A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.
4. Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
5. Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).
6. Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).
Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.
Resolução de triângulos
Os elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus ângulos e a sua área, resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.
Lei dos Senos
Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
a
________________________________________sen(A) = b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:
sen(A')=sen(A)= a
________________________________________2R
isto é,
a
________________________________________sen(A) =2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
2. Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A'= -A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Então
sen( -A)=
a
________________________________________2R = sen( -A)
isto é,
a
________________________________________sen(A) =2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que
sen(B)= b
________________________________________a , sen(C)= c
________________________________________a e sen(A)=sen( /2)=1
Como, neste caso a=2R, temos,
a
________________________________________sen(A) = b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C)
Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
uma vez que cos(A)=cos( /2)=0.
Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:
a²=b² + c² - 2bc cosA
Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²+2cx (Eq.2)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:
cos(D)=x/b=cos( -A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
cos(A)= b²+c²-a²
________________________________________2bc ,cos(B)= a²+c²-b²
________________________________________2ac ,cos(C)= a²+b²-c²
________________________________________2ab
Área de um triângulo em função dos lados
Existe uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p=a+b+c, então,
S = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]
onde R[z] é a nossa notação para a raiz quadrada de z>0.
A demonstração está em nosso link Fórmula de Heron.
19.RELAÇÃO ENTRE ARCOS
O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:
= 3,1415926535897932384626433832795...
Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio = 12
________________________________________8
Portanto m(AB)=1,5 radianos
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r, então:
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio = 2 r
________________________________________r = 2
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,
2 rad=360 graus
Podemos estabelecer os resultados seguintes
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano /2
3 /2
2
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,
R
________________________________________
= G
________________________________________180
Exemplos
Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
R
________________________________________
= 60
________________________________________180
Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad
Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
1
________________________________________
= G
________________________________________180
Asim 1 rad=180/ graus.
Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre Geometria Plana: Ângulos
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:
= 3,1415926535897932384626433832795...
Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio = 12
________________________________________8
Portanto m(AB)=1,5 radianos
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r, então:
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio = 2 r
________________________________________r = 2
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,
2 rad=360 graus
Podemos estabelecer os resultados seguintes
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano /2
3 /2
2
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,
R
________________________________________
= G
________________________________________180
Exemplos
Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
R
________________________________________
= 60
________________________________________180
Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad
Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
1
________________________________________
= G
________________________________________180
Asim 1 rad=180/ graus.
Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre Geometria Plana: Ângulos
20.FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Funções circulares
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Funções reais
Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.
Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.
Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale
f(x+T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.
Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:
-L < f(x) < L
Esta última expressão pode ser escrita como
f(x)
Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois
-1 < x/(1+x²) < 1
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com xf(y).
Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.
Funções pares e ímpares
Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
1. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = -f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )
para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0
sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de período fundamental T=2 .
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno crescente decrescente decrescente crescente
Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4
3 /2 7 /4
2
y 1 ½
0 ½
-1 -½
0 ½
1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )
Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então
cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente
Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < cos(x) < 1
Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tan(x) = sen(x)
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 0 1 não existe -1 0 1 não existe -1 0
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de - /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k }
Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k , onde k pertence a Z
tan(x)=tan(x+ )=tan(x+2 )=...=tan(x+k )
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x+k ) =
tan(x)+tan(k )
________________________________________
1-tan(x).tan(k )
= tan(x)+0
________________________________________1-tan(x).0 = tan(x)
A função tangente é periódica de período fundamental T= .
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k /2, k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
tan(x)=-tan(-x)
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:
f(x)=cot(x)= cos(x)
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe 1 0 -1 não existe 1 0 -1 não existe
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou - ), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito ra damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k , onde k em Z, temos
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1) }
Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
cot(x)=cot(x+ )=cot(x+2 )=...=cot(x+k )
A função cotangente é periódica de período fundamental 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k , k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1) /2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
f(x)=sec(x)= 1
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 1
não existe -
-1 -
não existe
1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3 /2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1) /2}
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec)={y emR: y < -1 ou y 1}
Periodicidade A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
sec(x)=sec(x+2 )=sec(x+4 )=...=sec(x+2k ),
por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante crescente crescente decrescente decrescente
Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:
sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
f(x)=csc(x)= 1
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe
1
não existe -
-1 -
não existe
Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 , sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k , onde k em Z, temos
Dom(csc)={x em R: x diferente de k }
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}
Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de k , onde k em Z
csc(x)=csc(x+ )=csc(x+2 )=...=csc(x+k )
por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cossecante positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente
Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k , a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:
csc(x)=-csc(-x)
Funções trigonométricas inversas
Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.
Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2 , x=4 , x=-2 , etc, isto é x=2k , onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.
Função arco-seno
Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [- /2, /2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f-1:[-1,1] [- /2, /2] é denotada por
f-1(x) = arcsen(x)
Gráfico da função arco-seno:
Função arco-cosseno
Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0, ] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1] [0, ] e denotada por
g-1(x) = arccos(x)
Gráfico da função arco-cosseno:
Função arco-tangente
Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (- /2, /2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f-1:R (- /2, /2) e denotada por
f-1(x) = arctan(x)
Gráfico da função arco-tangente:
Função arco-cotangente
Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0, ) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f-1:R (0, ) e denotada por
f-1(x) = arccot(x)
Gráfico da função arco-cotangente:
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Funções reais
Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.
Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.
Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale
f(x+T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.
Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:
-L < f(x) < L
Esta última expressão pode ser escrita como
f(x)
Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois
-1 < x/(1+x²) < 1
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x
Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.
Funções pares e ímpares
Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
1. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = -f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )
para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0
sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de período fundamental T=2 .
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno crescente decrescente decrescente crescente
Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4
3 /2 7 /4
2
y 1 ½
0 ½
-1 -½
0 ½
1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )
Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então
cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente
Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < cos(x) < 1
Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tan(x) = sen(x)
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 0 1 não existe -1 0 1 não existe -1 0
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de - /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k }
Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k , onde k pertence a Z
tan(x)=tan(x+ )=tan(x+2 )=...=tan(x+k )
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x+k ) =
tan(x)+tan(k )
________________________________________
1-tan(x).tan(k )
= tan(x)+0
________________________________________1-tan(x).0 = tan(x)
A função tangente é periódica de período fundamental T= .
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k /2, k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
tan(x)=-tan(-x)
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:
f(x)=cot(x)= cos(x)
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe 1 0 -1 não existe 1 0 -1 não existe
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou - ), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito ra damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k , onde k em Z, temos
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1) }
Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
cot(x)=cot(x+ )=cot(x+2 )=...=cot(x+k )
A função cotangente é periódica de período fundamental 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k , k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1) /2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
f(x)=sec(x)= 1
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 1
não existe -
-1 -
não existe
1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3 /2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1) /2}
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec)={y emR: y < -1 ou y 1}
Periodicidade A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
sec(x)=sec(x+2 )=sec(x+4 )=...=sec(x+2k ),
por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante crescente crescente decrescente decrescente
Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:
sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
f(x)=csc(x)= 1
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe
1
não existe -
-1 -
não existe
Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 , sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k , onde k em Z, temos
Dom(csc)={x em R: x diferente de k }
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}
Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de k , onde k em Z
csc(x)=csc(x+ )=csc(x+2 )=...=csc(x+k )
por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cossecante positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente
Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k , a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:
csc(x)=-csc(-x)
Funções trigonométricas inversas
Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.
Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2 , x=4 , x=-2 , etc, isto é x=2k , onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.
Função arco-seno
Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [- /2, /2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f-1:[-1,1] [- /2, /2] é denotada por
f-1(x) = arcsen(x)
Gráfico da função arco-seno:
Função arco-cosseno
Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0, ] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1] [0, ] e denotada por
g-1(x) = arccos(x)
Gráfico da função arco-cosseno:
Função arco-tangente
Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (- /2, /2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f-1:R (- /2, /2) e denotada por
f-1(x) = arctan(x)
Gráfico da função arco-tangente:
Função arco-cotangente
Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0, ) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f-1:R (0, ) e denotada por
f-1(x) = arccot(x)
Gráfico da função arco-cotangente:
21. UNIDADES DE MEDIDAS: COMPRIMENTO, SUPERFÍCIE, VOLUME,TEMPO, CAPACIDADE DE MASSA
Medidas de Comprimento
Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
Múltiplos Unidade
Fundamental Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 • 1012 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m
Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Medidas de superfície
Introdução
As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
• Qual a area desta sala?
• Qual a area desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina?
• Qual a area dessa quadra de futebol de salão?
• Qual a area pintada dessa parede?
Superfície e área
Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilômetros quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
12, 56
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 78, 30
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 91 70
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca)
Equivalência
de valor 100a 1a 0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
Medidas de tempo
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo
• centésimo de segundo
• milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
Medidas de tempo
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
Medidas de massa
Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.
Múltiplos e Submúltiplos do grama
Múltiplos Unidade principal Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
Múltiplos Unidade
Fundamental Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 • 1012 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m
Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Medidas de superfície
Introdução
As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
• Qual a area desta sala?
• Qual a area desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina?
• Qual a area dessa quadra de futebol de salão?
• Qual a area pintada dessa parede?
Superfície e área
Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilômetros quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
12, 56
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 78, 30
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 91 70
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca)
Equivalência
de valor 100a 1a 0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
Medidas de tempo
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo
• centésimo de segundo
• milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
Medidas de tempo
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
Medidas de massa
Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.
Múltiplos e Submúltiplos do grama
Múltiplos Unidade principal Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
ESTATÍSTICA BÁSICA: CONCEITOS, ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS, MEDIDAS DE POSIÇÃO, MEDIDAS DE DISPERSÃO
22. ESTATÍSTICA BÁSICA: CONCEITOS, ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS, MEDIDAS DE POSIÇÃO, MEDIDAS DE DISPERSÃO.
ESTATÍSTICA - Parte da Matemática que organiza e apresenta informações numéricas, além de obter conclusões a partir dessas informações.
Dados, tabelas e gráficos
Distribuição de freqüência
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações:
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações:
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20.
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior)
Distribuições simétricas
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média
Caso especial de uma distribuição simétrica
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino.
Distribuições Assimétricas
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:
Distribuições com "caudas" longas
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição.
-Medidas de tendência Central
As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.
Medidas
Média aritmética
Média aritmética para dados agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana 1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda Valor que ocorre com mais freqüência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).
A média possui uma particularidadebastante interessante, que consiste no seguinte:
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero.
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações:
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.
Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.
10.2- Variância
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.
10.3- Desvio-padrão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.
ESTATÍSTICA - Parte da Matemática que organiza e apresenta informações numéricas, além de obter conclusões a partir dessas informações.
Dados, tabelas e gráficos
Distribuição de freqüência
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações:
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações:
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20.
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior)
Distribuições simétricas
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média
Caso especial de uma distribuição simétrica
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino.
Distribuições Assimétricas
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:
Distribuições com "caudas" longas
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição.
-Medidas de tendência Central
As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.
Medidas
Média aritmética
Média aritmética para dados agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana 1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda Valor que ocorre com mais freqüência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).
A média possui uma particularidadebastante interessante, que consiste no seguinte:
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero.
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações:
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.
Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.
10.2- Variância
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.
10.3- Desvio-padrão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.
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