17.MATRIZES E DETERMINANTES
Matrizes de um sistema e determinante do sistema
Matriz incompleta
Matriz incompleta (M.I), ligada à um sistema, é toda matriz cujo seus elementos são, ordenadamente, os coeficientes das incógnitas.
Exemplo:
Neste sistema linear:
Sua matriz incompleta é:
Determinante do sistema
Quando a matriz incompleta for quadrada podemos dizer que o seu determinante é o determinante do sistema (D).
Matriz completa
Matriz completa (M.C), ligada à um sistema, é toda matriz que é constituída pelos elementos da matriz incompleta e por mais uma coluna formada pelos segundos membros de cada equação do sistema.
Neste caso a matriz completa do sistema linear do exemplo acima seria:
18.GEOMETRIA PLANA E TRIGONOMETRIA: ÂNGULOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS; ÁREAS E PERÍMETROS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS; SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS, CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
Algumas definições
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.
Polígono No. de lados Polígono No. de lados
Triângulo 3 Quadrilátero 4
Pentágono 5 Hexágono 6
Heptágono 7 Octógono 8
Eneágono 9 Decágono 10
Undecágono 11 Dodecágono 12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
1. Os lados opostos são congruentes;
2. Os ângulos opostos são congruentes;
3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
4. As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.
Circunferência e Círculo
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.
Raio, corda e diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.
Observações:
1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.
2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.
Propriedades das secantes e tangentes
1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.
2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
3. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.
4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.
Tangente comum interna Tangente comum externa
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.
Circunf. tangentes externas Circunf. tangentes internas
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.
Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.
Quadrilátero circunscrito Triângulo circunscrito
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.
Arco de circunferência e ângulo central
Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP=OQ=OR=... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.
Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.
Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.
Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.
Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.
Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.
Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
1. A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).
2.
3. A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.
4. Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
5. Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).
6. Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).
Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.
Resolução de triângulos
Os elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus ângulos e a sua área, resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.
Lei dos Senos
Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
a
________________________________________sen(A) = b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:
sen(A')=sen(A)= a
________________________________________2R
isto é,
a
________________________________________sen(A) =2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
2. Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A'= -A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Então
sen( -A)=
a
________________________________________2R = sen( -A)
isto é,
a
________________________________________sen(A) =2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C) =2R
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que
sen(B)= b
________________________________________a , sen(C)= c
________________________________________a e sen(A)=sen( /2)=1
Como, neste caso a=2R, temos,
a
________________________________________sen(A) = b
________________________________________sen(B) = c
________________________________________sen(C)
Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
uma vez que cos(A)=cos( /2)=0.
Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:
a²=b² + c² - 2bc cosA
Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²+2cx (Eq.2)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:
cos(D)=x/b=cos( -A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
cos(A)= b²+c²-a²
________________________________________2bc ,cos(B)= a²+c²-b²
________________________________________2ac ,cos(C)= a²+b²-c²
________________________________________2ab
Área de um triângulo em função dos lados
Existe uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p=a+b+c, então,
S = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]
onde R[z] é a nossa notação para a raiz quadrada de z>0.
A demonstração está em nosso link Fórmula de Heron.
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