19.RELAÇÃO ENTRE ARCOS

O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.



Ponto móvel sobre uma curva

Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.





Arcos da circunferência

Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.





Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.

Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).



A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.



O número pi

Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:

= 3,1415926535897932384626433832795...

Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.



Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.





Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,

m(AB)= comprimento do arco(AB)

________________________________________comprimento do raio = 12

________________________________________8

Portanto m(AB)=1,5 radianos



Arcos de uma volta

Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r, então:

m(AB)= comprimento do arco(AB)

________________________________________comprimento do raio = 2 r

________________________________________r = 2


Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,

2 rad=360 graus

Podemos estabelecer os resultados seguintes

Desenho








Grau 90 180 270 360

Grado 100 200 300 400

Radiano /2



3 /2

2


0 graus = 0 grado = 0 radianos



Mudança de unidades

Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,

2 rad …………… 360 graus

R rad …………… G graus

Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,

R

________________________________________



= G

________________________________________180

Exemplos

Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos

R

________________________________________



= 60

________________________________________180

Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad

Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:

1

________________________________________



= G

________________________________________180

Asim 1 rad=180/ graus.

Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre Geometria Plana: Ângulos