As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Funções reais
Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.
Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.
Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale
f(x+T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.
Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:
-L < f(x) < L
Esta última expressão pode ser escrita como
f(x)
Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois
-1 < x/(1+x²) < 1
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x
Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.
Funções pares e ímpares
Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
1. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = -f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )
para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0
sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de período fundamental T=2 .
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno crescente decrescente decrescente crescente
Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4
3 /2 7 /4
2
y 1 ½
0 ½
-1 -½
0 ½
1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )
Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então
cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente
Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < cos(x) < 1
Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tan(x) = sen(x)
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 0 1 não existe -1 0 1 não existe -1 0
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de - /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k }
Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k , onde k pertence a Z
tan(x)=tan(x+ )=tan(x+2 )=...=tan(x+k )
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x+k ) =
tan(x)+tan(k )
________________________________________
1-tan(x).tan(k )
= tan(x)+0
________________________________________1-tan(x).0 = tan(x)
A função tangente é periódica de período fundamental T= .
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k /2, k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
tan(x)=-tan(-x)
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:
f(x)=cot(x)= cos(x)
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe 1 0 -1 não existe 1 0 -1 não existe
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou - ), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito ra damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k , onde k em Z, temos
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1) }
Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
cot(x)=cot(x+ )=cot(x+2 )=...=cot(x+k )
A função cotangente é periódica de período fundamental 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k , k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1) /2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
f(x)=sec(x)= 1
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 1
não existe -
-1 -
não existe
1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3 /2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1) /2}
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec)={y emR: y < -1 ou y 1}
Periodicidade A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
sec(x)=sec(x+2 )=sec(x+4 )=...=sec(x+2k ),
por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante crescente crescente decrescente decrescente
Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:
sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
f(x)=csc(x)= 1
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe
1
não existe -
-1 -
não existe
Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 , sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k , onde k em Z, temos
Dom(csc)={x em R: x diferente de k }
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}
Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de k , onde k em Z
csc(x)=csc(x+ )=csc(x+2 )=...=csc(x+k )
por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cossecante positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente
Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k , a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:
csc(x)=-csc(-x)
Funções trigonométricas inversas
Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.
Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2 , x=4 , x=-2 , etc, isto é x=2k , onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.
Função arco-seno
Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [- /2, /2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f-1:[-1,1] [- /2, /2] é denotada por
f-1(x) = arcsen(x)
Gráfico da função arco-seno:
Função arco-cosseno
Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0, ] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1] [0, ] e denotada por
g-1(x) = arccos(x)
Gráfico da função arco-cosseno:
Função arco-tangente
Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (- /2, /2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f-1:R (- /2, /2) e denotada por
f-1(x) = arctan(x)
Gráfico da função arco-tangente:
Função arco-cotangente
Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0, ) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f-1:R (0, ) e denotada por
f-1(x) = arccot(x)
Gráfico da função arco-cotangente:
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