O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:
= 3,1415926535897932384626433832795...
Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio = 12
________________________________________8
Portanto m(AB)=1,5 radianos
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r, então:
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio = 2 r
________________________________________r = 2
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,
2 rad=360 graus
Podemos estabelecer os resultados seguintes
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano /2
3 /2
2
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,
R
________________________________________
= G
________________________________________180
Exemplos
Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
R
________________________________________
= 60
________________________________________180
Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad
Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
1
________________________________________
= G
________________________________________180
Asim 1 rad=180/ graus.
Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre Geometria Plana: Ângulos
segunda-feira, 1 de fevereiro de 2010
20.FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Funções circulares
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Funções reais
Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.
Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.
Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale
f(x+T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.
Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:
-L < f(x) < L
Esta última expressão pode ser escrita como
f(x)
Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois
-1 < x/(1+x²) < 1
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com xf(y).
Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.
Funções pares e ímpares
Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
1. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = -f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )
para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0
sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de período fundamental T=2 .
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno crescente decrescente decrescente crescente
Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4
3 /2 7 /4
2
y 1 ½
0 ½
-1 -½
0 ½
1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )
Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então
cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente
Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < cos(x) < 1
Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tan(x) = sen(x)
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 0 1 não existe -1 0 1 não existe -1 0
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de - /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k }
Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k , onde k pertence a Z
tan(x)=tan(x+ )=tan(x+2 )=...=tan(x+k )
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x+k ) =
tan(x)+tan(k )
________________________________________
1-tan(x).tan(k )
= tan(x)+0
________________________________________1-tan(x).0 = tan(x)
A função tangente é periódica de período fundamental T= .
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k /2, k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
tan(x)=-tan(-x)
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:
f(x)=cot(x)= cos(x)
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe 1 0 -1 não existe 1 0 -1 não existe
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou - ), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito ra damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k , onde k em Z, temos
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1) }
Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
cot(x)=cot(x+ )=cot(x+2 )=...=cot(x+k )
A função cotangente é periódica de período fundamental 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k , k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1) /2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
f(x)=sec(x)= 1
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 1
não existe -
-1 -
não existe
1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3 /2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1) /2}
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec)={y emR: y < -1 ou y 1}
Periodicidade A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
sec(x)=sec(x+2 )=sec(x+4 )=...=sec(x+2k ),
por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante crescente crescente decrescente decrescente
Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:
sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
f(x)=csc(x)= 1
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe
1
não existe -
-1 -
não existe
Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 , sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k , onde k em Z, temos
Dom(csc)={x em R: x diferente de k }
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}
Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de k , onde k em Z
csc(x)=csc(x+ )=csc(x+2 )=...=csc(x+k )
por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cossecante positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente
Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k , a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:
csc(x)=-csc(-x)
Funções trigonométricas inversas
Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.
Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2 , x=4 , x=-2 , etc, isto é x=2k , onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.
Função arco-seno
Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [- /2, /2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f-1:[-1,1] [- /2, /2] é denotada por
f-1(x) = arcsen(x)
Gráfico da função arco-seno:
Função arco-cosseno
Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0, ] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1] [0, ] e denotada por
g-1(x) = arccos(x)
Gráfico da função arco-cosseno:
Função arco-tangente
Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (- /2, /2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f-1:R (- /2, /2) e denotada por
f-1(x) = arctan(x)
Gráfico da função arco-tangente:
Função arco-cotangente
Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0, ) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f-1:R (0, ) e denotada por
f-1(x) = arccot(x)
Gráfico da função arco-cotangente:
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Funções reais
Devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais, iniciaremos então com a definição de funções.
Função: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y de B que corresponde ao elemento x de A de acordo com a lei f, é denominado imagem de x por f e é indicado por y=f(x).
O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f.
Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e contradomínio de f são subconjuntos do conjunro dos números reais.
Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x em A, vale
f(x+T) = f(x)
Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número positivo T, que satisfaz a esta condição recebe o nome de período fundamental.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x-[x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T=1.
Função limitada: Uma função f de domínio A contido em R é limitada, se existe um número real positivo L, tal que para todo x em A, valem as desigualdades:
-L < f(x) < L
Esta última expressão pode ser escrita como
f(x)
Exemplo: A função real f(x)=2x/(1+x²) é limitada pois
-1 < x/(1+x²) < 1
Funções crescentes e decrescentes
Seja f uma função definida em um intervalo I, x e y dois valores quaisquer pertencentes a I, com x
Exemplo: A função real f(x)=2x+1 é crescente e a função real f(x)=e-x é decrescente.
Funções pares e ímpares
Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x² é par.
1. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f:
f(-x) = -f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos cartesiano.
Exemplo: A função real definida por f(x)=x³ é ímpar.
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2 ) = sen(x+4 ) =...= sen(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x+2k ) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )
para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0
sen(x+2k ) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de período fundamental T=2 .
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função seno crescente decrescente decrescente crescente
Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4
3 /2 7 /4
2
y 1 ½
0 ½
-1 -½
0 ½
1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z:
cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x+2k )=cos(x) cos(2k )-sen(x) sen(2k )
Para todo k em Z: cos(2k )=1 e sen(2k )=0, então
cos(x+2k )=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente
Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < cos(x) < 1
Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tan(x) = sen(x)
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 0 1 não existe -1 0 1 não existe -1 0
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de - /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k }
Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k , onde k pertence a Z
tan(x)=tan(x+ )=tan(x+2 )=...=tan(x+k )
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
tan(x+k ) =
tan(x)+tan(k )
________________________________________
1-tan(x).tan(k )
= tan(x)+0
________________________________________1-tan(x).0 = tan(x)
A função tangente é periódica de período fundamental T= .
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k /2, k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
tan(x)=-tan(-x)
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:
f(x)=cot(x)= cos(x)
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4 /2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe 1 0 -1 não existe 1 0 -1 não existe
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou - ), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito ra damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k , onde k em Z, temos
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1) }
Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
cot(x)=cot(x+ )=cot(x+2 )=...=cot(x+k )
A função cotangente é periódica de período fundamental 2 .
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k , k inteiro, onde a função não está definida.
Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1) /2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
f(x)=sec(x)= 1
________________________________________cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2
3 /4
5 /4 3 /2
7 /4 2
y 1
não existe -
-1 -
não existe
1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3 /2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos
Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1) /2}
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec)={y emR: y < -1 ou y 1}
Periodicidade A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z
sec(x)=sec(x+2 )=sec(x+4 )=...=sec(x+2k ),
por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante positiva negativa negativa positiva
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função secante crescente crescente decrescente decrescente
Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:
sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
f(x)=csc(x)= 1
________________________________________sen(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2 ].
x 0 /4
/2 3 /4
5 /4 3 /2 7 /4 2
y não existe
1
não existe -
-1 -
não existe
Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 , sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k , onde k em Z, temos
Dom(csc)={x em R: x diferente de k }
Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}
Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de k , onde k em Z
csc(x)=csc(x+ )=csc(x+2 )=...=csc(x+k )
por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
Sinal:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2]
[3 /2,2 ]
Função cossecante positiva positiva negativa negativa
Monotonicidade:
Intervalo [0, /2]
[ /2, ]
[ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente
Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k , a função cresce (ou decresce) sem controle.
Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:
csc(x)=-csc(-x)
Funções trigonométricas inversas
Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas.
Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2 , x=4 , x=-2 , etc, isto é x=2k , onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora.
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem.
Função arco-seno
Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [- /2, /2] e imagem no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f-1:[-1,1] [- /2, /2] é denotada por
f-1(x) = arcsen(x)
Gráfico da função arco-seno:
Função arco-cosseno
Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0, ] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1] [0, ] e denotada por
g-1(x) = arccos(x)
Gráfico da função arco-cosseno:
Função arco-tangente
Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (- /2, /2) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-tangente é definida por f-1:R (- /2, /2) e denotada por
f-1(x) = arctan(x)
Gráfico da função arco-tangente:
Função arco-cotangente
Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0, ) e imagem em R, a função inversa de f, denominada arco-cotangente é definida por f-1:R (0, ) e denotada por
f-1(x) = arccot(x)
Gráfico da função arco-cotangente:
21. UNIDADES DE MEDIDAS: COMPRIMENTO, SUPERFÍCIE, VOLUME,TEMPO, CAPACIDADE DE MASSA
Medidas de Comprimento
Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
Múltiplos Unidade
Fundamental Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 • 1012 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m
Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Medidas de superfície
Introdução
As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
• Qual a area desta sala?
• Qual a area desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina?
• Qual a area dessa quadra de futebol de salão?
• Qual a area pintada dessa parede?
Superfície e área
Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilômetros quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
12, 56
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 78, 30
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 91 70
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca)
Equivalência
de valor 100a 1a 0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
Medidas de tempo
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo
• centésimo de segundo
• milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
Medidas de tempo
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
Medidas de massa
Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.
Múltiplos e Submúltiplos do grama
Múltiplos Unidade principal Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
Múltiplos Unidade
Fundamental Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 • 1012 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m
Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Medidas de superfície
Introdução
As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
• Qual a area desta sala?
• Qual a area desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina?
• Qual a area dessa quadra de futebol de salão?
• Qual a area pintada dessa parede?
Superfície e área
Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilômetros quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
12, 56
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 78, 30
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 91 70
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca)
Equivalência
de valor 100a 1a 0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
Medidas de tempo
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo
• centésimo de segundo
• milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
Medidas de tempo
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
Medidas de massa
Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.
Múltiplos e Submúltiplos do grama
Múltiplos Unidade principal Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
ESTATÍSTICA BÁSICA: CONCEITOS, ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS, MEDIDAS DE POSIÇÃO, MEDIDAS DE DISPERSÃO
22. ESTATÍSTICA BÁSICA: CONCEITOS, ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS, MEDIDAS DE POSIÇÃO, MEDIDAS DE DISPERSÃO.
ESTATÍSTICA - Parte da Matemática que organiza e apresenta informações numéricas, além de obter conclusões a partir dessas informações.
Dados, tabelas e gráficos
Distribuição de freqüência
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações:
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações:
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20.
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior)
Distribuições simétricas
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média
Caso especial de uma distribuição simétrica
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino.
Distribuições Assimétricas
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:
Distribuições com "caudas" longas
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição.
-Medidas de tendência Central
As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.
Medidas
Média aritmética
Média aritmética para dados agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana 1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda Valor que ocorre com mais freqüência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).
A média possui uma particularidadebastante interessante, que consiste no seguinte:
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero.
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações:
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.
Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.
10.2- Variância
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.
10.3- Desvio-padrão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.
ESTATÍSTICA - Parte da Matemática que organiza e apresenta informações numéricas, além de obter conclusões a partir dessas informações.
Dados, tabelas e gráficos
Distribuição de freqüência
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações:
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações:
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20.
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior)
Distribuições simétricas
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média
Caso especial de uma distribuição simétrica
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino.
Distribuições Assimétricas
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:
Distribuições com "caudas" longas
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição.
-Medidas de tendência Central
As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.
Medidas
Média aritmética
Média aritmética para dados agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana 1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda Valor que ocorre com mais freqüência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).
A média possui uma particularidadebastante interessante, que consiste no seguinte:
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero.
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações:
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.
Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.
10.2- Variância
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.
10.3- Desvio-padrão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.
Assinar:
Postagens (Atom)